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logica

Proprietà e tautologie notevoli

Le seguenti proprietà sono notevoli.  Si verifichi che sono delle tautologie.

  1.  \$A\land B\equiv B\land A\$; \$A\lor B\equiv B\lor A\$; (\$A\equiv B)\equiv(B\equiv A)\$ (proprietà commutative)
  2.  \$(A\land B)\land C\equiv A\land(B\land C)\$ (proprietà associativa della congiunzione)
  3.  \$(A\lor B)\lor C\equiv A\lor(B\lor C)\$ (proprietà associativa della disgiunzione)
  4.  \$((A\equiv B)\equiv C)\equiv(A\equiv(B\equiv C))\$ (proprietà associativa dell’equivalenza)
  5.  \$A\land(B\lor C)\equiv(A\land B)\lor(A\land C)\$ (proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione)
  6.  \$A\lor(B\land C)\equiv(A\lor B)\land(A\lor C)\$ (proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione)
  7.  \$\lnot\lnot A\equiv A\$ (legge della doppia negazione)
  8.  \$A\land A\equiv A\$; \$A\lor A\equiv A\$ (legge dell’idem poteza)
  9.  \$A\lor\lnot A\$ (principio del terzo escluso)
  10.  \$\lnot(A\land\lnot A)\$ (legge di non contraddizione)
  11.  \$A\land(A\lor B)\equiv A\$; \$A\lor(A\land B)\equiv A\$ (legge di eliminazione)
  12.  \$\lnot(A\lor B)\equiv\lnot A\land\lnot B\$ (legge di De Morgan)
  13.  \$\lnot(A\land B)\equiv\lnot A\lor\lnot B\$ (legge di De Morgan)
  14.  \$(A\Rightarrow B)\land(B\Rightarrow C)\Rightarrow(A\Rightarrow C) \$ (Sillogismo ipotetico oppure transitività dell’implicazione)
Spesso, operando su espressioni logiche, è utile osservare che espressioni che contengono l’implicazione e l’equivalenza possono essere trasformate in espressioni che contengono solo i connettivi logici di congiunzione, disgiunzione e negazione. Allo scopo tornano utili queste altre tautologie:
  1. \$(A\Rightarrow B)\equiv\lnot A\lor B\$
  2. \$(A\equiv B)\equiv(A\land B)\lor(\lnot A\land\lnot B)\$