Il concetto di trasformazione reversibile porta alla costruzione teorica di macchine in grado di operare ciclicamente tramite l’uso di trasformazioni reversibili.

Per macchina ciclica, s’intende un sistema che evolve ad uno stato finale seguendo una determinata evoluzione e ritorna allo stato iniziale seguendo un’altra evoluzione, quasi sempre differente dalla prima, quindi è pronto a ripetersi nuovamente. Dato che ogni percorso evolutivo può avere sull’ambiente effetti diversi dagli altri percorsi, essi possono essere combinati in modo tale che al netto degli effetti di un ciclo è possibile ottenere sull’ambiente un risultato prefissato. Quando tutte le trasformazioni che costituiscono il ciclo sono reversibili, si dice che il sistema costituisce una macchina reversibile, in quanto, per riportare l’ambiente nelle condizioni iniziali, ovvero invertire gli effetti della macchina, basterà invertire il senso di percorrenza del ciclo.

Sebbene l’esistenza di tali macchine sia solo ipotizzabile in teoria, perché nella pratica i fenomeni dissipativi sono presenti in qualunque trasformazione, esse svolgono un ruolo fondamentale nella comprensione delle macchine reali, nel valutarne l’efficienza ed i limiti a cui possono tendere

Anche se sono soltanto astrazioni teoriche, le macchine reversibili devono in ogni caso rispettare i principi generali imposti dalla prima e dalla seconda legge della termodinamica.

La macchina che opera con una sola sorgente termica

In particolare, in rispetto della seconda legge, sotto forma dell’enunciato di Kelvin, una macchina termica ciclica che scambi energia con una singola sorgente termica, non potrà mai produrre, come risultato netto di tutto il ciclo, un lavoro positivo. Ne consegue che se il ciclo ha una produzione netta di lavoro negativa (cioè lavoro viene fornito alla macchina) esso sarà irreversibilmente perso, non potendo la macchina essere invertita a causa del vincolo imposto dalla seconda legge. Tuttavia se tale macchina opera tramite trasformazioni reversibili, allora, si dovrebbe poterne invertire il funzionamento in modo tale da riportare sistema (cioè la macchina ciclica) ed ambiente (cioè tutto ciò che è esterno alla macchina e con cui avvengono scambi di energia) nelle condizioni iniziali e ciò sempre nel rispetto della seconda legge.

Allora, riassumendo, se ottenere lavoro netto netto positivo viola la seconda legge e lavoro netto negativo rende il ciclo irreversibile, si può affermare che:

Una macchina termica ciclica che scambia energia con una singola sorgente termica è reversibile se e soltanto se il lavoro netto prodotto in un ciclo è nullo.

La precedente affermazione è un punto fondamentale per ciò che verrà trattato in questo ed altri post.

La macchina che opera fra due sorgenti termiche

Avendo quindi escluso che una macchina termica ciclica che scambia energia con una singola sorgente termica possa essere motrice, per operare in tal senso, avrà bisogno di scambiare energia con almeno due sorgenti termiche a temperatura differente. Il cui funzionamento è schematizzato in figura:

macchina-reversibile-1

La macchina scambia calore Qc con la sorgente calda e calore Qf con quella fredda e produce lavoro L.

Senza dilungarsi in banali dimostrazioni, è facile convincersi che, in una macchina motrice, per rispettare la seconda legge, i versi degli scambi energetici netti al termine di un ciclo dovranno avere i seguenti versi: il calore Qc è assorbito dalla macchina mentre il calore Qf è ceduto alla sorgente fredda. Nel rispetto della prima legge, il lavoro ottenuto sarà espresso dalla differenza:

L = |Qc| – |Qf|

Il semplice fatto, che deve esistere uno scambio di calore Qf con la sorgente fredda, stabilisce che l’energia sottratta alla sorgente calda sotto forma di calore non può essere trasformata interamente in lavoro meccanico (tramite una macchina ciclica), una parte dovrà essere ceduta sotto forma di calore alla sorgente fredda.

Ovvero, definendo il rendimento di una macchina termica motrice come il rapporto tra il lavoro ottenuto e il calore sottratto alla sorgente calda, esso sarà sempre minore di uno.

\[ \eta=\frac{L}{Q_{c}}=\frac{Q_{c}-\left|Q_{f}\right|}{Q_{c}}=1-\frac{\left|Q_{f}\right|}{Q_{c}} < 1 \]

Confronto tra macchine che operano fra due sorgenti termiche

Volendo paragonare l’efficienza di due macchine termiche bisogna porle nelle stesse condizioni di funzionamento (cioè fra medesime sorgenti termiche) e quindi osservare quale delle due produce maggiori effetti utili (lavoro meccanico).

Il primo paragone interessante da fare è fra una macchina reversibile ed una irreversibile. Allo scopo, si può procedere nel seguente modo: si prendano due sorgenti termiche, una calda a temperatura Tc ed una fredda a temperatura Tf, sufficientemente grandi che la loro temperatura non sia influenzata dal funzionamento delle macchine. Si permetta alle due macchine termiche di operare fra le due sorgenti termiche facendo in modo che ciascuna di esse assorba dalla sorgente calda una stessa quantità di calore Qc. (ciò è teoricamente possibile variando opportunamente l’estensione di una della due macchine, oppure facendo opportunamente eseguire ad ogni macchina un numero diverso di cicli. Ad esempio se la prima macchina ad ogni ciclo assorbe una quantità di calore pari a Qc1 e la seconda Qc2, il rapporto \$ \frac{Q_c1}{Q_c2}\$, anche se dovesse essere irrazionale, può sempre essere approssimato con precisione arbitraria da una frazione del tipo \$\frac{N_2}{N_1}\$ in modo tale che facendo eseguire N1 cicli alla prima macchina ed N2 alla seconda si abbia \$ Q_c = N_1Q_c1 = N_2Q_c2\$)

La situazione è come da figura:

macchine-reversibili-confronto-2Si supponga che la macchina irreversibile abbia un rendimento maggiore della macchina reversibile. Allora sarebbe Li > Lr.

In tale ipotesi si potrebbe pensare di invertire il funzionamento della macchina reversibile in modo tale che il calore netto scambiato con la sorgente calda sia nullo pur tuttavia ottenendo dal sistema composto dalle due macchine un lavoro netto Li-Lr positivo ed uguale al calore netto |Qfr|-|Qfi| assorbito dalla sorgente fredda. Ma ciò in evidente contrasto con la seconda legge.

Non è neanche possibile che il rendimento delle due macchine sia uguale, perché, ripetendo il ragionamento precedente, il sistema composto dalle due macchine sarebbe una macchina che opera su di un’unica sorgente termica (quella fredda) con un lavoro netto nullo. Ma ciò implicherebbe che il sistema composto dalle due macchine fosse reversibile.

Dunque si può affermare che:

Il rendimento di una macchina motrice ciclica, termica e irreversibile è sempre inferiore a quello di una reversibile se operano tra le stesse due sorgenti termiche.

Però, ripetendo il ragionamento precedente nell’ipotesi che entrambe le macchine fossero reversibili, allora potrebbero essere scambiate di ruolo indifferentemente. Conducendo alla logica conclusione che:

Tutte le macchine motrici termiche, cicliche e reversibili che operano fra due stesse sorgenti termiche hanno uguale rendimento.

La temperatura termodinamica assoluta

Affermare che il rendimento

\[ \eta = 1 – \frac{\left|Q_{f}\right|}{\left|Q_{c}\right|} \]

sia lo stesso per tutte le macchine reversibili che operano fra due sorgenti termiche alla stessa temperatura equivale ad affermare che il rapporto \$\frac{\left|Q_{f}\right|}{\left|Q_{c}\right|}\$ sia funzione solamente delle temperature \$t_f\$, \$t_c\$ delle due sorgenti.

\[\frac{\left|Q_{c}\right|}{\left|Q_{f}\right|}= f(t_c, t_f)\]

Questo permette di costruire teoricamente una scala di temperature, indipendente dai parametri di stato di qualunque sostanza, ma definita soltanto sulla base del rendimento delle macchine reversibili.

NOTA: nel definire la \$f\$, il rapporto fra i due calori è il reciproco di quanto compare nella formula del rendimento. Ciò è voluto, in quanto la scelta di un rapporto o del suo reciproco da luogo ad una scala di temperature crescente o decrescente. Si è scelto il verso crescente (anche se considerando l’impossibilità di raggiungere lo zero assoluto, oppure pensando alla legge di distribuzione di Boltzman, una scala che vada a porre \$+\infty\$ al suo posto non mi sembra un’idea tanto malvagia)

Da un rapporto, non possiamo definire la temperatura di una sorgente termica \$t\$ senza prenderne un’altra come riferimento. Sia \$t_r\$ quella di riferimento. In tal caso, avendo fissato una variabile nella funzione f, ciò che rimane è una funzione, denominiamola h, della sola temperatura t.
Quindi abbiamo determinato una forma della funzione h ipotizzata nel post in cui abbiamo discusso del principio zero della termodinamica.

\[\frac{\left|Q_{t}\right|}{\left|Q_{tr}\right|}= f(t, t_r) = h(t)\]

Osserviamo che il valore di h alla temperatura di riferimento, \$h(t_r)\$, è 1. Ciò è conseguenza del fatto che una macchina reversibile che opera fra due sorgenti alla stessa temperatura ha rendimento nullo. Infatti comportandosi come una macchina reversibile che opera tramite una sola temperatura avrà L=0. Un semplice bilancio di energia impone che il calore assorbito dalla macchina da una sorgente è ceduto integralmente all’altra sorgente alla stessa temperatura, quindi il rapporto fra i due calori vale 1.

La scelta del punto di riferimento segna quindi l’ampiezza della scala di temperatura, ovvero la variazione di temperatura compresa tra 0 e 1 della scala. Scegliendo il riferimento pari a 1Kelvin della scala dei gas ideali allora la scala termodinamica assoluta e quella dei gas ideali verranno a coincidere, ma questo lo dimostreremo meglio nel post dedicato al teorema di Carnot.

Per il momento limitiamoci ad osservare che, utilizzando un ragionamento analogo a quello fatto per paragonare due macchine termiche, possiamo immaginare un sistema costruito in modo tale da avere due macchine reversibili, la prima che opera tra una sorgente a temperatura t1 e quella di riferimento tr, la seconda tra la temperatura t2 e quella di riferimento tr, proporzionato in modo tale che le due macchine cedano la stessa quantità di calore Qr alla sorgente di riferimento. Allora:

\[\frac{\left|Q_2\right|}{\left|Q_r\right|}= f(t_2, t_r) = h(t_2)\]

\[\frac{\left|Q_1\right|}{\left|Q_r\right|}= f(t_1, t_r) = h(t_1)\]

Dato che le macchine sono reversibili, possiamo immaginare d’invertire il funzionamento di una delle due. Il risultato sarà che la sorgente di riferimento cede e riceve la stessa quantità di calore. In questa modalità di funzionamento il sistema composto dalle due macchine si comporta come una singola macchina reversibile che opera tra le due sorgenti t1 e t2.

\[ f(t_2, t_1) = \frac{\left|Q_2\right|}{\left|Q_1\right|}= \frac{\left|Q_2\right|}{\left|Q_r\right|} \frac{\left|Q_r\right|}{\left|Q_1\right|} = \frac{h(t_2)}{h(t_1)} \]

\[ \frac{\left|Q_2\right|}{\left|Q_1\right|}= \frac{h(t_2)}{h(t_1)} \]

Indipendentemente dalla scala, cioè dal punto di riferimento scelto:

il rapporto dei calori scambiati da una qualunque macchina reversibile fra due sorgenti termiche è uguale al rapporto delle temperature termodinamiche assolute di esse.

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